PARTES DE UNA IGUALDAD

En matemáticas, dos objetos matemáticos son considerados iguales si los objetos poseen el mismo valor.
Por ejemplo, la frase "la suma de dos y dos" y la expresión " cuatro" se refieren al mismo objeto matemático, un cierto número natural. La expresión "es igual a" o "es lo mismo que" se suele representar en matemáticas con el signo ' =  .
Un enunciado en el que dos expresiones (iguales o distintas) denotan el mismo objeto se llama una ecuación o una igualdad matemática. Un ejemplo de ecuación sería "dos más dos es lo mismo que cuatro", que se suele escribir así:

Las igualdades pueden ser:

1) Condicionales, en cuyo caso se cumplen para solo algunos valores de la variable, por ejemplo, si , solo se cumple la igualdad si .

2) Identidades: se cumplen para todos los valores permisibles de la variable, por ejemplo:

es una identidad algebraica que se cumple para todos los valores de .
Otro ejemplo una función:

el símbolo x representa a la variable independiente, y el símbolo y representa a la variable dependiente.



PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

La relación de igualdad (=) es:

• reflexiva:
• simétrica: si entonces
• transitiva: si y entonces

LEYES DE LA IGUALDAD

La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:

• si y entonces y
• si entonces
• si dos símbolos son iguales, entonces uno puede ser sustituido por el otro.
• regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si entonces .
• regularidad condicional de la multiplicación: si y no es cero, entonces .

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo al grado de la incógnita (la variable).
Pero veamos que significa Grado, en álgebra.
El grado de un monomio  o el de una expresión algebraica es un valor referido a los exponentes  de las  variables (referido a los números que indican la potencia de la variable; dicho en simple,  al numerito chico arriba de las letras).
Entonces, el grado puede referirse a un monomio o a un polinomio, y para cada uno puede ser absoluto o relativo.

Grado absoluto de un monomio

El grado absoluto o de un monomio es la suma de los exponentes de todas las letras o variables.
El grado de 2x² y³ z es: 2 + 3 + 1 = 6

Grado absoluto de un polinomio

El grado absoluto de un polinomio está dado por aquel del término con más alto valor absoluto de todos los que componen la expresión o polinomio
El grado absoluto de 6x³y⁴z² + x⁵y² es: 3 + 4 + 2 = 9  (que es el valor absoluto del término 6x³y⁴z²) .

Nota:

Cuando una variable  (una letra) no posee exponente, se entiende que es 1, que no se escribe pero que se considera para la suma de exponentes de un término.
Así:
El grado de 2x² y³ z es: 2 + 3 + 1 = 6 (el exponente de z es 1)

Grado relativo

El grado relativo de un monomio se refiere al valor que arroje la suma de los exponentes de variables iguales:
Así, en el término 5x³y²z⁵
El grado relativo a x es 3
El grado relativo a y es 2
El grado relativo a z es 5

Grado de una ecuación

El grado de una ecuación lo marca el monomio (o término) de mayor grado absoluto.
5x + 3 = 2x +1               Ecuación de primer grado (cada término posee solo una incógnita y su exponente es uno).
5x + 3 = 2x² + x            Ecuación de segundo grado.
5xy + 3 = 2xy + x           Ecuación de segundo grado. (El grado del monomio 5xy es 2)
5x³ + 3 = 2x +x²           Ecuación de tercer grado.
5x²y + 3 = 2x + x²y       Ecuación de tercer grado (El grado del monomio 5x²y es 3)
5x³ + 3 = 2x⁴ +1           Ecuación de cuarto grado.
 
Resumiremos lo anterior en el siguiente cuadro:

ECUACIÓN	INCÓGNITA	EXPONENTE	GRADO
8x + 38 = 29	x	1	1°
4y 2 + 12 = 6y	y	2	2°
4xy +12 = 6xy	xy	1 + 1 = 2	2º
z 3 - 8z 2 + z = 7	z	3	3°
z2y - 12 + z = 7zy	zy	2 + 1 = 3	3º
x 4 - 17x 2 + 16 = 0	x	4	4°